Questão FC623870
De uma população com 60 elementos distintos selecionou-se aleatoriamente 6 elementos com reposição. A probabilidade de o mesmo elemento ser selecionado mais de uma vez é
Probabilidade
CESGRANRIO · 2013
De uma população com 60 elementos distintos selecionou-se aleatoriamente 6 elementos com reposição.
A probabilidade de o mesmo elemento ser selecionado mais de uma vez é
- \(\cfrac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55} {\cfrac{6!} {60^6}}\)
- \(\cfrac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55} {60^6}\)
- \(\cfrac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55} {6 \cdot 60^6}\)
- \(1 - \cfrac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55} {\cfrac{6!} {60^6}}\)
- \(1 - \cfrac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55} {60^6}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Temos amostras com reposição de 6 retiradas de uma população de 60. Para que algum elemento se repita, basta calcular o complemento da situação em que todas as 6 retiradas são diferentes.
A probabilidade de todas serem distintas é obtida de forma sequencial: a primeira retirada pode ser qualquer uma \(60/60\), a segunda deve evitar o já escolhido \(59/60\), a terceira evitar as duas anteriores \(58/60\), e assim por diante até a sexta \(55/60\). Assim:
\(\text{P(todos distintos)}=\dfrac{60}{60}\cdot\dfrac{59}{60}\cdot\dfrac{58}{60}\cdot\dfrac{57}{60}\cdot\dfrac{56}{60}\cdot\dfrac{55}{60}\)
Portanto, a probabilidade de ocorrer pelo menos uma repetição é o complemento:
\(\boxed{1-\dfrac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{60^6}}\)
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