Questão FC623885
Qual a probabilidade de que o paciente tenha de fato a doença condicionada aos dois resultados dos exames tipo A e B?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2013
Após análise de sintomatologia, um médico estima que seu paciente tenha uma determinada doença com probabilidade de 70%. Para confirmar o diagnóstico inicial, ele pede ao paciente que faça um exame tipo A, que dá falso negativo com probabilidade de 20% e falso positivo com probabilidade de 40%. O resultado desse exame dá positivo. Entretanto, desconfiado com a alta frequência de falso positivo do exame tipo A, o médico pede novamente que o paciente se submeta a um exame tipo B, cujas probabilidades de falso positivo e falso negativo são ambas de 10%, independentemente dos resultados do teste A. Novamente o resultado do teste tipo B é positivo.
Qual a probabilidade de que o paciente tenha de fato a doença condicionada aos dois resultados dos exames tipo A e B?
\(\frac {63} {125}\)
\(\frac {42} {43}\)
\(\frac {19} {25}\)
\(\frac {21} {22}\)
\(\frac {14} {17}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Usamos o teorema de Bayes para o evento "doença" condicionado aos dois testes positivos. Seja \(P(D)=0{,}7\). As probabilidades dos testes são: sensibilidade do A \(P(A+|D)=0{,}8\) (falso negativo 20%), do B \(P(B+|D)=0{,}9\) (falso negativo 10%); e falso positivo do A \(P(A+|D^c)=0{,}4\), do B \(P(B+|D^c)=0{,}1\).
Como os resultados são independentes dados \(D\) ou \(D^c\),
\(P(D|A+\cap B+)=\dfrac{P(A+|D)P(B+|D)P(D)}{P(A+|D)P(B+|D)P(D)+P(A+|D^c)P(B+|D^c)P(D^c)}\).
Substituindo: \(=\dfrac{0{,}8\cdot0{,}9\cdot0{,}7}{0{,}8\cdot0{,}9\cdot0{,}7+0{,}4\cdot0{,}1\cdot0{,}3}=\dfrac{0{,}504}{0{,}516}=\dfrac{42}{43}.\)
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