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Questão FC623890

Quanto vale, aproximadamente, P?

Probabilidade

CESGRANRIO · 2024

Considere um exame para detectar o uso de uma droga. Suponha que, para um usuário da droga, o exame tenha probabilidade 0,95 de dar, corretamente, positivo. Suponha que, para um não usuário, o exame tenha probabilidade 0,9 de dar, corretamente, negativo.

 

Para um certo indivíduo, a probabilidade de que ele use a droga é estimada, antes do exame, como sendo de 0,8. Após a aplicação do exame, o resultado foi positivo. Seja P a probabilidade que se deve estimar, com os dados acima, de que o resultado do exame esteja errado, ou seja, de que o resultado seja um falso positivo.

 

Quanto vale, aproximadamente, P?

  1. P < 0,01
  2. 0,01 < P < 0,02
  3. 0,02 < P < 0,05
  4. 0,05 < P < 0,1
  5. P > 0,1
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Usamos o teorema de Bayes para estimar a probabilidade de que o resultado positivo seja um falso positivo, isto é \(P(\text{Não Droga} \mid \text{Positivo})\).

Dados: \(P(\text{Droga})=0{,}8\), \(P(\text{Positivo}\mid\text{Droga})=0{,}95\), \(P(\text{Negativo}\mid\text{Não Droga})=0{,}9\). Logo \(P(\text{Não Droga})=0{,}2\) e \(P(\text{Positivo}\mid\text{Não Droga})=0{,}1\).

Probabilidade total de positivo: \(P(\text{Positivo})=0{,}8\cdot0{,}95+0{,}2\cdot0{,}1=0{,}76+0{,}02=0{,}78\).

Aplicando Bayes: \(P(\text{Não Droga}\mid\text{Positivo})=\dfrac{0{,}2\cdot0{,}1}{0{,}78}=\dfrac{0{,}02}{0{,}78}\approx0{,}025\).

Portanto, \(P\approx0{,}025\), que pertence ao intervalo \(0{,}02

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