Questão FC623907
Se a distribuição for feita de forma aleatória, qual é a probabilidade de todas as preferências serem atendidas?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2018
Um programa de integração será oferecido para os 30 novos funcionários de uma empresa. Esse programa será realizado simultaneamente em duas localidades distintas: X e Y . Serão oferecidas 15 vagas em cada localidade. Sabe-se que 8 funcionários preferem realizar o programa na localidade X e 6, na localidade Y.
Se a distribuição for feita de forma aleatória, qual é a probabilidade de todas as preferências serem atendidas?
- \(\frac{C^7_{16}}{C^{15}_{30}}\)
- \(\frac{C^8_{15} C^6_{15}}{C^{15}_{30}}\)
- \(\frac{C^{14}_{30} C^7_{16}}{C^{15}_{30} C^{15}_{30}}\)
- \(\frac{2C^8_{15} C^6_{15}}{C^{15}_{30}}\)
- \(\frac{C^7_{16} C^7_{16} C^7_{16}}{C^{15}_{30}}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
A alocação pode ser vista como escolher quais 15 pessoas irão para a localidade X. O espaço amostral é, portanto, o número de maneiras de escolher 15 dentre 30: \(C_{30,15}\).
Para que todas as preferências sejam atendidas, os 8 que preferem X devem estar entre esses 15, e os 6 que preferem Y ficarão necessariamente em Y. Restam, então, \(30-8-6=16\) funcionários sem preferência.
As vagas restantes em X são \(15-8=7\), que devem ser ocupadas por 7 dos 16 sem preferência, o que dá \(C_{16,7}\) casos favoráveis. Aqui usamos combinações porque a ordem nas vagas não importa.
A probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e total: \(P=\dfrac{C_{16,7}}{C_{30,15}}\), correspondente à alternativa A.
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