Questão FC623922
Se o dado for lançado quatro vezes, qual a probabilidade de que todos os quatro números ocorram?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2012
Um dado tem a forma de um tetraedro com as faces numeradas 1, 2, 3 e 4. Ao lançá-lo sobre uma mesa, o ponto obtido é o número registrado na face em contato com a mesa. Esse dado foi construído de tal forma que a probabilidade do ponto é proporcional ao próprio ponto.
Se o dado for lançado quatro vezes, qual a probabilidade de que todos os quatro números ocorram?
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Gabarito
B
Comentário do professor
Como a probabilidade de cada face é proporcional ao número nela, escrevemos \(p_i = k\cdot i\) para \(i=1,2,3,4\).
Da condição \(\sum_{i=1}^4 p_i=1\) vem \(k(1+2+3+4)=10k=1\), logo \(k=\tfrac{1}{10}\). Assim \(p_1=\tfrac{1}{10},\,p_2=\tfrac{2}{10},\,p_3=\tfrac{3}{10},\,p_4=\tfrac{4}{10}\).
Em quatro lançamentos independentes, a probabilidade de obter as quatro faces em uma ordem específica é \(p_1p_2p_3p_4\).
Como a ordem não importa, multiplicamos por todas as permutações \(4!\). Portanto
\(\text{Prob} = 4!\,p_1p_2p_3p_4 = 24\cdot\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{10^4} = \frac{576}{10000} = \frac{36}{625}.\)
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