Qual é a probabilidade de que valha X12 + X22 + X32 < 1?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Temos três variáveis independentes e uniformes em [0,1], então a probabilidade pedida é o volume do subconjunto de \([0,1]^3\) onde \(x_1^2+x_2^2+x_3^2<1\), dividido pelo volume do cubo (que é 1).

Essa condição define a interseção do cubo com a esfera de raio 1 centrada na origem. Como todas as coordenadas são não negativas, só interessa o primeiro octante da esfera.

O volume da esfera de raio 1 é \(V_{\text{esfera}}=\tfrac{4}{3}\pi\). O volume no primeiro octante é um oitavo disso, ou seja \( \tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{4}{3}\pi = \tfrac{\pi}{6}\).

Como o volume do cubo é 1, a probabilidade é simplesmente \( \tfrac{\pi}{6}\).