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Questão FC623928

Seja \(\Omega = {-2, -1, 0, 1, 2}\) um espaço amostral para um dado experimento. A menor \(\sigma\)-álgebra F de subconjuntos de \(\Omega\) para que \(X(\omega) = \omega^2\) seja u

Variáveis Aleatórias

CESGRANRIO · 2013

Seja \(\Omega = {-2, -1, 0, 1, 2}\) um espaço amostral para um dado experimento. A menor \(\sigma\)-álgebra F de subconjuntos de \(\Omega\) para que  \(X(\omega) = \omega^2\) seja uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade \((\Omega, F, P)\) é dada por:

  1. F = {Ø, \(\Omega\)}
  2. F = {A:A \(\subset \Omega\)
  3. F = {{0},{1},{2}}
  4. F = {Ø,{0},{1},{2}, \(\Omega\)}
  5. F = {Ø,{0},{-1,1},{-2,2},{-1,0,1},{-2,0,2},{-2,-1,1,2}, \(\Omega\)}
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A coleção apresentada em E é a menor σ-álgebra que torna \(X(\omega)=\omega^2\) mensurável porque é gerada pelas pré-imagens dos valores de \(X\).


Observando \(X\), temos as pré-imagens: \(X^{-1}(0)=\{0\}\), \(X^{-1}(1)=\{-1,1\}\) e \(X^{-1}(4)=\{-2,2\}\). Essas três classes formam uma partição de \(\Omega\) em átomos mensuráveis.


A σ-álgebra gerada por \(X\) contém todas as uniões possíveis desses átomos, além de \(\varnothing\) e \(\Omega\). Isso resulta exatamente nos 8 conjuntos listados em E: todas as combinações de \(\{0\},\{-1,1\},\{-2,2\}\).


Portanto F é fechada por complemento e união contável e é a menor com essa propriedade, logo é a σ-álgebra desejada.

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