Os jogadores X e Y lançam um dado honesto, com seis faces numeradas de 1 a 6, e observa-se a face superior do dado. O jogador X lança o dado 50 vezes, e o jogador Y, 51 vezes. A pr

Gabarito

D

Comentário do professor

Definição rápida: Seja X o número de faces ímpares que o jogador X obtém em 50 lançamentos e Y o número de faces ímpares que o jogador Y obtém em 51 lançamentos. Assim \(X\sim\text{Bin}(50,\tfrac{1}{2})\) e \(Y\sim\text{Bin}(51,\tfrac{1}{2})\).

Separe os primeiros 50 lançamentos de Y e o 51.º. Defina \(S\) como a diferença entre os ímpares de Y nos primeiros 50 e os de X: \(S=Y_{1:50}-X\). A quantidade final que interessa é \(D=Y-X=S+Y_{51}\).

Simetria: por construção \(S\) tem distribuição simétrica, logo \(P(S>0)=P(S<0)\). Assim \(P(D>0)=P(S>0)+P(S=0)\cdot P(Y_{51}\ \text{ímpar})\).

Como \(P(Y_{51}\ \text{ímpar})=\tfrac{1}{2}\) e \(2P(S>0)+P(S=0)=1\), substituindo obtemos \(P(D>0)=\tfrac{1}{2}\).