Uma variável aleatória X de interesse assume apenas os valores 1, 2 e k. Sabendo-se que \(P(X=1)=\frac{1}{3},P(X=2)=\frac{1}{4}\) e que a média da variável aleatória é 5, o valor d

Gabarito

A

Comentário do professor

Primeiro determinamos a probabilidade restante usando que a soma das probabilidades é 1. Assim, \(P(X=k)=1-\left(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}\right)=1-\tfrac{7}{12}=\tfrac{5}{12}\).

Em seguida usamos a definição da média (esperança) de X: \(E[X]=\sum x\,P(X=x)\). Aqui \(E[X]=1\cdot\tfrac{1}{3}+2\cdot\tfrac{1}{4}+k\cdot\tfrac{5}{12}\).

Substituindo \(E[X]=5\) obtém-se \( \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{5k}{12}=5\). Somando as frações, \(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{6}=\tfrac{10}{12}\), então \( \tfrac{10}{12}+\tfrac{5k}{12}=5\).

Multiplicando por 12: \(10+5k=60\). Logo \(5k=50\) e \(k=10\). Portanto o valor de k é 10.