As variáveis aleatórias X e Y são independentes. A variável X segue uma distribuição Normal com média 4 e variância 16, e a Y segue uma distribuição Normal com média 9 e variância

Gabarito

B

Comentário do professor

Resposta: A diferença \(X-Y\) é Normal, pois uma combinação linear de variáveis Normais é Normal.

Média: para combinação linear vale \(E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]\). Assim \(E[X-Y]=E[X]-E[Y]=4-9=-5\).

Variância: para \(aX+bY\) temos \(\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y)\).

Como X e Y são independentes, \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\). Então \(\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)=16+1=17\).

Portanto a distribuição de \(X-Y\) é Normal com média \(-5\) e variância \(17\).