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Questão FC623941

Sejam X~N 2( \(\mu\), \(\sum\)), com \(\mu\) =(2 - 3) t e \(\sum\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). A distribuição de Y=AX, onde A=(-1 2), é:

Variáveis Aleatórias

CESGRANRIO · 2018

Sejam X~N 2( \(\mu\), \(\sum\)), com \(\mu\) =(2 - 3) t e \(\sum\) = \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). A distribuição de Y=AX,  onde A=(-1  2), é: 

  1. Y~N 1( \(\mu\) = - 8, \(\sigma^2\) = 9)
  2. Y~N 1( \(\mu\)= -8, \(\sigma^2\) = 4)
  3. Y~N 2( \(\mu\) \(\sum\)) com \(\mu\) (2 - 3) t e  \(\sum = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)
  4. Y~N 2(  \(\mu\)  \(\sum\)) com \(\mu\) (2 - 6) t e  \(\sum = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}\)
  5. Y~N 2( \(\mu\) \(\sum\)) com  \(\mu\) (2 - 6) t e  \(\sum = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para uma transformação linear de um vetor normal, valem as propriedades: E(AX)=AE(X) e Cov(AX)=A Cov(X)A^T. Aplicando com \(A=(-1\;2)\) e \(\mu=(2,\,-3)^T\):

E(Y) = \(A\mu = (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-3) = -2 - 6 = -8\).

Var(Y) = \(A\Sigma A^T\) com \(\Sigma=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&3\end{pmatrix}\). Primeiro \(A\Sigma=(1,\;5)\) e então \( (1,\;5)A^T = 1\cdot(-1)+5\cdot 2 = -1+10 = 9\).

Portanto, \(Y\) é normal univariada com média \(-8\) e variância \(9\), isto é, \(Y\sim N_1(-8,9)\).

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