Considere uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é simétrica, em relação ao seu valor esperado e que E(X) = 20 e VAR(X) = 16. Seja a variável aleatória Y def

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Da definição \(Y=\beta X - \alpha\) e pelas propriedades de esperança e variância, temos: Esperança \(E(Y)=\beta E(X)-\alpha\) e Variância \(Var(Y)=\beta^2 Var(X)\).

Substituindo \(Var(Y)=1\) e \(Var(X)=16\) obtemos \(1=\beta^2\cdot16\), ou seja \(\beta^2=\tfrac{1}{16}\).

Adotando a convenção usual de padronização com escala positiva, tomamos \(\beta=\tfrac{1}{4}\).

Usando \(E(Y)=0\) e \(E(X)=20\): \(0=\beta\cdot20-\alpha\), logo \(\alpha=20\beta=20\cdot\tfrac{1}{4}=5\).

Portanto \(\beta+\alpha=\tfrac{1}{4}+5=\tfrac{21}{4}\). Resultado: \(\tfrac{21}{4}\).