Questão FC623946
com \(0 \le\alpha\le1\), qual deve ser o valor de \(\alpha\) para que a variância do estimador \(\widehat{\theta}_C\) seja mínima?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2014
Dois pesquisadores A e B propõem dois estimadores \(\widehat{\theta}_A\) e \(\widehat{\theta}_B\), respectivamente, para um dado parâmetro \(\theta\) de interesse. Quando se retira uma amostra de tamanho n, obtêm-se as seguintes estimativas das médias e desvios padrões dos estimadores propostos: \(\mu (\widehat{\theta}_A)=1.000\), \(\sigma (\widehat{\theta}_A)=400\),\(\mu (\widehat{\theta}_B)=1.200,\) \(\sigma (\widehat{\theta}_B)=200\), respectivamente. Se for decidido construir um estimador, a partir da ponderação dos estimadores propostos pelos pesquisadores A e B, da forma
\(\widehat{\theta}_C=\alpha\widehat{\theta}_A+(1-\alpha)\widehat{\theta}_B\)
com \(0 \le\alpha\le1\), qual deve ser o valor de \(\alpha\) para que a variância do estimador \(\widehat{\theta}_C\) seja mínima?
\(0\).
\({1\over 2}\).
\({1\over 3}\).
\({1\over 4}\).
\({1\over 5}\).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Assumindo independência entre os estimadores, vale \(Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)\). Aplicando a combinação \(\widehat{\theta}_C=\alpha\widehat{\theta}_A+(1-\alpha)\widehat{\theta}_B\) obtemos
\(Var(\widehat{\theta}_C)=\alpha^2Var(\widehat{\theta}_A)+(1-\alpha)^2Var(\widehat{\theta}_B)\).
Como \(Var(\widehat{\theta}_A)=400^2=160000\) e \(Var(\widehat{\theta}_B)=200^2=40000\),
\(Var(\widehat{\theta}_C)=160000\alpha^2+40000(1-2\alpha+\alpha^2)=200000\alpha^2-80000\alpha+40000\).
Trata-se de uma quadrática em \(\alpha\) com coeficientes \(A=200000\) e \(B=-80000\). O mínimo ocorre em \(\alpha=-B/(2A)=80000/(400000)=0{,}2\), ou seja, \(\alpha=\tfrac{1}{5}\). Isso dá menor variância ao estimador combinado.
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