Se X e Y são duas variáveis aleatórias tais que Var(2X+3Y) = 0, o coeficiente de correlação \(\rho (X,Y)\)entre X e Y vale

Gabarito

B

Comentário do professor

Se \( \mathrm{Var}(2X+3Y)=0\), então \(2X+3Y=C\) quase certamente, isto é, há uma relação linear determinística entre X e Y. Assim \(Y=\dfrac{-2}{3}X+\dfrac{C}{3}\), com coeficiente angular \(a=-\tfrac{2}{3}\) (negativo).

Para uma relação \(Y=aX+b\) vale \( \mathrm{Cov}(X,Y)=a\,\mathrm{Var}(X)\) e \( \mathrm{Var}(Y)=a^2\mathrm{Var}(X)\). Portanto

\( \rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}=\dfrac{a\,\mathrm{Var}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\,a^2\mathrm{Var}(X)}}=\dfrac{a}{|a|}.\)

Como \(a=-\tfrac{2}{3}<0\), temos \( \rho(X,Y)=-1\). Coeficiente de correlação: \(-1\).