Sejam X e Y variáveis aleatórias com Var(X) = Var(Y) = \(\sigma^2\). Defina Z = 9X - 3Y e U = 3X + 9Y, tal que Var(Z) = 80 e Var(U) = 100. O coeficiente de correlação entre X e Y é

Gabarito

D

Comentário do professor

Começamos expandindo as variâncias usando propriedades lineares. Para \(Z=9X-3Y\):

\(Var(Z)=Var(9X-3Y)=81\sigma^2+9\sigma^2-54\,Cov(X,Y)=90\sigma^2-54\,Cov(X,Y)=80\).

Para \(U=3X+9Y\):

\(Var(U)=Var(3X+9Y)=9\sigma^2+81\sigma^2+54\,Cov(X,Y)=90\sigma^2+54\,Cov(X,Y)=100\).

Somando as duas equações elimina \(Cov(X,Y)\): \(180=180\sigma^2\), logo \(\sigma^2=1\).

Substituindo em uma das equações: \(100=90+54\,Cov(X,Y)\) implica \(Cov(X,Y)=10/54=5/27\).

Finalmente, o coeficiente de correlação é \( \rho(X,Y)=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\dfrac{5/27}{1}= \mathbf{5/27}.