Questão FC623958
Um pesquisador americano obteve coeficiente de correlação r = 0,92 para as variáveis renda e altura de um grande número de pessoas. A variável renda foi registrada em dólares, e a
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2013
Um pesquisador americano obteve coeficiente de correlação r = 0,92 para as variáveis renda e altura de um grande número de pessoas. A variável renda foi registrada em dólares, e a variável altura, em polegadas.
Sabe-se que cada polegada corresponde a, aproximadamente, 2,5 centímetros e, na época do estudo, cada dólar valia 2 reais.
Utilizando os dados de renda convertidos para reais e de altura convertidos para centímetros, obtém-se o coeficiente de correlação de
- 0,92
- 0,85
- 0,74
- 0,54
- 0,46
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Gabarito
A
Comentário do professor
O coeficiente de correlação de Pearson é adimensional e não depende das unidades das variáveis. Pela definição, \(r=\dfrac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)\,\mathrm{var}(Y)}}\).
Se transformarmos \(X\) e \(Y\) por \(X'=aX+b\) e \(Y'=cY+d\), obtemos \(\mathrm{cov}(X',Y')=ac\,\mathrm{cov}(X,Y)\), \(\mathrm{var}(X')=a^{2}\mathrm{var}(X)\) e \(\mathrm{var}(Y')=c^{2}\mathrm{var}(Y)\).
Assim, \(r'=\dfrac{ac\,\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{a^{2}\mathrm{var}(X)\;c^{2}\mathrm{var}(Y)}}=\dfrac{ac}{|a||c|}\,r\). Se \(a\) e \(c\) são positivos, então \(r'=r\).
No caso, converter dólares para reais multiplica por \(2\) e polegadas para centímetros por \(2{,}5\), ambos positivos, portanto o coeficiente permanece \(0{,}92\).
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