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Questão FC623959

Uma pesquisa recente estudou a distribuição de renda familiar per capita, em salários mínimos (s.m.), de duas comunidades, Alfa e Beta, com, aproximadamente, o mesmo número de habi

Variáveis Aleatórias

CESGRANRIO · 2024

Uma pesquisa recente estudou a distribuição de renda familiar per capita, em salários mínimos (s.m.), de duas comunidades, Alfa e Beta, com, aproximadamente, o mesmo número de habitantes. Considerando-se e a base dos logaritmos naturais ou neperianos, na comunidade Alfa, verificou-se que tal renda pode ser bem aproximada por uma variável aleatória contínua (v.a.c.) X com função densidade de probabilidade (f.d.p.) da forma f(X = x) = r ex, 0 \(\le\) x \(\le\) 1 s.m.; já para a comunidade Beta, constatou- -se que a renda em estudo seguia aproximadamente a distribuição de uma variável aleatória contínua (v.a.c.) Y com função densidade de probabilidade (f.d.p.) da forma g(Y = y) = s y ey, 0 \(\le\) y \(\le\) 1 s.m.

 

Um técnico deve decidir por apenas uma das duas comunidades para receber um programa assistencial, qual seja, aquela que possua o maior número de habitantes com renda familiar per capita até meio salário mínimo. Nesses termos, o técnico deverá optar pela comunidade:

 

Dado: \(\sqrt{e}\approx 1,645\)

  1. Alfa, que tem aproximadamente o dobro de pessoas elegíveis em relação às da comunidade Beta.
  2. Alfa, que tem aproximadamente o triplo de pessoas elegíveis em relação às da comunidade Beta.
  3. Beta, que tem aproximadamente o dobro de pessoas elegíveis em relação às da comunidade Alfa.
  4. Beta, que tem aproximadamente o triplo de pessoas elegíveis em relação às da comunidade Alfa.
  5. Alfa ou Beta, indistintamente, já que ambas têm o mesmo número de pessoas elegíveis.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Calculamos as probabilidades de renda até 0,5 s.m. em cada comunidade. Para Alfa, a f.d.p. é \(f(x)=r e^x\) em \([0,1]\). Normalizando: \(\int_0^1 r e^x dx = r(e-1)=1\), logo \(r=\dfrac{1}{e-1}\).

Assim \(P(X\le 0{,}5)=\int_0^{0,5}\dfrac{e^x}{e-1}dx=\dfrac{e^{0{,}5}-1}{e-1}=\dfrac{\sqrt{e}-1}{e-1}=\dfrac{1}{\sqrt{e}+1}\). Com \(\sqrt{e}\approx1{,}645\) obtemos \(P(X\le0{,}5)\approx0{,}37\).

Para Beta, \(g(y)=s y e^y\) em \([0,1]\). Normalizando: \(s\int_0^1 y e^y dy=1\) e \(\int_0^1 y e^y dy=1\), então \(s=1\).

Logo \(P(Y\le0{,}5)=\int_0^{0,5} y e^y dy=[(y-1)e^y]_0^{0,5}=1-\dfrac{\sqrt{e}}{2}\approx0{,}18\).

Razão: \(\dfrac{0{,}37}{0{,}18}\approx2\). Portanto, Alfa tem aproximadamente o dobro de pessoas elegíveis.

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