A proporção de álcool em um certo composto pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função de densidade: \(f(x) = ax^3 \times (1- x), 0 \le x \le 1.\) Nesse caso,

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Como \(f\) é uma função de densidade em \([0,1]\), ela deve satisfazer \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\). Aqui basta integrar no suporte: \(\displaystyle\int_0^1 ax^3(1-x)\,dx=1\).

Expanda o integrando: \(x^3(1-x)=x^3-x^4\). Assim \(\displaystyle a\int_0^1 (x^3-x^4)\,dx= a\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=1\).

Calcule a diferença: \(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}\). Portanto \(a\cdot\frac{1}{20}=1\).

Isolando \(a\) obtém-se \( \; \boxed{a=20}\).
Logo a constante que normaliza a densidade é \(a=20\).