Questão FC623962
Ao analisar dados coletados de uma certa medida de interesse, variando de 0 a 2, o pesquisador observou que o histograma tinha a forma de uma parábola restrita a [0,2] e assim mode
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2012
Ao analisar dados coletados de uma certa medida de interesse, variando de 0 a 2, o pesquisador observou que o histograma tinha a forma de uma parábola restrita a [0,2] e assim modelou probabilisticamente a variável, segundo uma função de densidade de probabilidade dada por
\(f(x)= \begin{cases} cx^2, \quad se 0 \le x \le 2 \\ 0, \quad \text{caso contrario } \end{cases}\)
O valor de c e a mediana da distribuição são, respectivamente,
\(\frac {8} {3} \quad \mbox e \quad \frac {3} {2}\)
\(\frac {1} {8} \quad \mbox e \quad ^3\sqrt {4}\)
\(\frac {1} {8} \quad \mbox e \quad \frac {3} {2}\)
\(\frac {3} {8} \quad \mbox e \quad \frac {3} {2}\)
\(\frac {3} {8} \quad \mbox e \quad ^3\sqrt {4}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Para determinar a constante c usamos a condição de normalização: a área total da densidade deve ser 1. Assim \(1=\int_{0}^{2} c x^{2}\,dx = c\frac{2^{3}}{3}= \frac{8c}{3}\), o que leva a \(c=\frac{3}{8}\).
Para a mediana M aplicamos a definição \(P(X\le M)=0{,}5\). Então \(0{,}5=\int_{0}^{M} c x^{2}\,dx\). Substituindo \(c=\frac{3}{8}\) e integrando obtemos \(0{,}5=\frac{M^{3}}{8}\). Daí \(M^{3}=4\) e \(M=\sqrt[3]{4}\).
Portanto, \(c=\frac{3}{8}\) e a mediana é \( \sqrt[3]{4}\).
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