Seja F(x) a função de distribuição de uma variável aleatória contínua, definida como \(F(x)={\begin{cases}0, sex<0\\\alpha x,se0\le x<\\{2\over 3}x+\beta,se1\le x<2\\1,sex\ge2\end{

Gabarito

D

Comentário do professor

F(x)=P(X\le x) e, por se tratar de uma variável aleatória contínua, a função de distribuição é contínua à direita nos pontos de quebra.

Em \(x=1\) temos continuidade: \(\alpha\cdot1=\tfrac{2}{3}\cdot1+\beta\), isto é \(\alpha=\tfrac{2}{3}+\beta\).

Em \(x=2\) exigimos \(F(2)=1\): \(\tfrac{2}{3}\cdot2+\beta=1\Rightarrow \beta=1-\tfrac{4}{3}=-\tfrac{1}{3}\).

Logo \(\alpha=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}\).

Para \(x=\tfrac{3}{4}\) (está no intervalo \(0\le x<1\)) vale \(F(\tfrac{3}{4})=\alpha\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}\).

Portanto \(P\!\left(X>\tfrac{3}{4}\right)=1-F\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}\).