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Questão FC623966

Qual o valor da mediana de X?

Variáveis Aleatórias

CESGRANRIO · 2022

Seja X uma variável aleatória com distribuição de Pareto com parâmetros 3 e 2, ou seja, a função de densidade de probabilidade é dada por

 

\(f(x) = \begin{cases} {\large{24 \over x^4}}, x \ge 2 \\ 0, x < 2 \end{cases}\)

 

Qual o valor da mediana de X?

  1. 3
  2. 12
  3. \(\large {9 \over 2}\)
  4. \(\sqrt[3] {16}\)
  5. \(\sqrt[5] {48}\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

Mediana é o valor \(m\) tal que \(F(m)=P(X\le m)=0{,}5\).

Como a função densidade é \(f(x)=24/x^4\) para \(x\ge2\), a função acumulada é \(F(x)=\int_2^x \dfrac{24}{s^4}\,ds\). Para a mediana impomos \(0{,}5=\int_2^m \dfrac{24}{s^4}\,ds\).

Calculando a integral: \(\int 24s^{-4}ds= -8s^{-3}\). Portanto \(0{,}5 = [-8s^{-3}]_{2}^{m} = -\dfrac{8}{m^3}+1\).

Daí \(\dfrac{8}{m^3}=0{,}5\), logo \(m^3=16\) e \(m=\sqrt[3]{16}\). Note que \(\sqrt[3]{16}\approx2{,}52>2\), compatível com o suporte da distribuição.

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