Questão FC623967
Qual o valor da esperança matemática de U?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2022
Uma variável econômica de interesse, U, é modelada como U = XY, com X e Y variáveis aleatórias, tais que X tem distribuição normal com média 8 e variância 20, e Y condicionada a X = x tem distribuição normal com média x e variância 10.
Qual o valor da esperança matemática de U?
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Gabarito
A
Comentário do professor
Temos X ~ N(8,20) e Y|X=x ~ N(x,10). Use a propriedade da esperança condicional: \(E(XY)=E\big(X\,E[Y\mid X]\big)\).
Da distribuição condicional segue que \(E[Y\mid X]=X\). Portanto \(E(XY)=E(X\cdot X)=E(X^2)\).
Lembrando que \(Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\), isolamos \(E(X^2)=Var(X)+E(X)^2\).
Substituindo os valores conhecidos, \(E(X^2)=20+8^2\).
Logo \(E(XY)=20+64=84\). Resposta: 84.
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