Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que X~U(0,1) e Y|X~U(1-X3,1), com U(a,b) representando a distribuição uniforme no intervalo (a,b). O valor esperado da variável aleatória

Gabarito

B

Comentário do professor

Usamos a propriedade da esperança condicional: \(E(XY)=E\!\big(X\,E(Y|X)\big)\). Também \(Z=X(1-Y)\), logo \(E(Z)=E(X)-E(XY)\).

Como \(Y|X\sim U(1-X^3,1)\), a média condicional é \( \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \) \(E(Y|X)=\dfrac{(1-X^3)+1}{2}=1-\dfrac{X^3}{2}\).

Então \(E(XY)=E\!\left[X\left(1-\dfrac{X^3}{2}\right)\right]=E(X)-\dfrac{1}{2}E(X^4)\). Para \(X\sim U(0,1)\) temos \(E(X)=\tfrac{1}{2}\) e \(E(X^4)=\tfrac{1}{5}\), portanto \(E(XY)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{2}{5}.\)

Finalmente \(E(Z)=E(X)-E(XY)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{5}=\boxed{\tfrac{1}{10}}\).