As variáveis aleatórias X e Y representam, respectivamente, a renda gerada e o consumo das famílias por trimestre. Suponha que a função de densidade do quociente entre o consumo da

Gabarito

B

Comentário do professor

Esperança: seja \(Z=\dfrac{Y}{X}\). Como foi dada a função densidade de \(Z\), a esperança é \(E(Z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} z\,f_Z(z)\,dz\).

Aqui \(f_Z(z)=\dfrac{3}{2}z^{1/2}\) para \(0 e zero fora desse intervalo. Logo a integral reduz-se ao intervalo [0,1]\).

Calculamos \(E(Z)=\displaystyle\int_0^1 z\cdot \dfrac{3}{2}z^{1/2}\,dz=\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_0^1 z^{3/2}\,dz\).

Integral: \(\displaystyle\int_0^1 z^{3/2}\,dz=\dfrac{z^{5/2}}{5/2}\Big|_0^1=\dfrac{2}{5}\).

Portanto \(E(Z)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}=0{,}6\).