Qual o valor do desvio padrão da variável aleatória X?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A partir da função acumulada, obtenha a função densidade por derivação: \(f(x)=F'_X(x)=\dfrac{3-3x^2}{4}\) para \(-1\le x\le1\).

O cálculo da esperança usa \(E(X)=\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx\). Como a integranda é função ímpar em um intervalo simétrico, temos \(\;E(X)=0\;\) por simetria.

Para \(E(X^2)\): \(E(X^2)=\int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx=\dfrac{1}{4}\int_{-1}^{1}(3x^2-3x^4)\,dx\). Calculando, obtemos \(E(X^2)=\dfrac{1}{5}.\)

A variância é \(Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=\tfrac{1}{5}-0=\tfrac{1}{5}\). Assim o desvio padrão é \(\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\tfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).