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Questão FC623973

Um processo produz um tipo de componente elétrico cujo diâmetro, em mm, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade \(f_Y\)(y) = 6y(1 – y) para 0 < y < 1. De

Variáveis Aleatórias

CESGRANRIO · 2018

Um processo produz um tipo de componente elétrico cujo diâmetro, em mm, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade \(f_Y\)(y) = 6y(1 – y) para 0 < y < 1.

 

De acordo com essa função, a média e a variância dos diâmetros dos componentes produzidos por esse processo são, respectivamente:

  1. \(μ\) = 0,5 mm e \(σ^2\) = 0,05 mm²
  2. \(μ\) = 0,5 mm e \(σ^2\) = 0,5 mm²
  3. \(μ\) = 1,0 mm e \(σ^2\) = 1,0 mm²
  4. \(μ\) = 1,0 mm e \(σ^2\) = 0,5 mm²
  5. \(μ\) = 1,0 mm e \(σ^2\) = 0,05 mm²
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Gabarito

A

Comentário do professor

Média: a esperança é \( \mu=E(Y)=\int_{0}^{1}y\,f(y)\,dy\). Como \(f(y)=6y(1-y)\), temos \( \mu=\int_{0}^{1}6y^2(1-y)\,dy =6\Big(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}\Big)=\tfrac{1}{2}=0{,}5\) mm.

Variância: \( \mathrm{Var}(Y)=E(Y^2)-\mu^2\). Primeiro calcule \(E(Y^2)=\int_{0}^{1}y^2f(y)\,dy=\int_{0}^{1}6y^3(1-y)\,dy=6\Big(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{5}\Big)=\tfrac{3}{10}=0{,}3\).

Logo \( \mathrm{Var}(Y)=0{,}3-(0{,}5)^2=0{,}3-0{,}25=0{,}05=\tfrac{1}{20}\) mm².

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