Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade \(f_x(x) = \begin{cases} \frac{x}{4}; 1 \le x \le 3 \\ 0; \text{caso contrario} \end{cases}\) Se \(Y

Gabarito

A

Comentário do professor

Comece pela mudança de variável \(Y=\frac{X^2}{2}\) com \(f_X(x)=\frac{x}{4}\) para \(1\le x\le3\). Como \(x\mapsto x^2/2\) é monótona em \([1,3]\), existe inversa positiva \(x=\sqrt{2y}\).

Use a fórmula de densidade para transformação monótona: \(g_Y(y)=f_X(x)\left|\dfrac{dx}{dy}\right|\), com \(x=\sqrt{2y}\).

Calcule \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\sqrt{2y}}\). Substituindo,

\(g_Y(y)=\dfrac{x}{4}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2y}}=\dfrac{\sqrt{2y}}{4}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2y}}=\dfrac{1}{4}\).

O domínio vem de \(1\le x\le3\Rightarrow \tfrac{1^2}{2}\le y\le\tfrac{3^2}{2}\), isto é \(0{,}5\le y\le4{,}5\). Fora desse intervalo \(g_Y(y)=0\).