Questão FC623977
Aproximadamente, quanto vale P?
Principais Distribuições Discretas
CESGRANRIO · 2024
Em uma maternidade, 400 bebês nasceram em uma semana. Sejam H e M os números de meninos e de meninas, respectivamente. Sabe-se, portanto, que H + M = 400. Suponha para esse problema que, para cada bebê, a probabilidade de que seja menino seja exatamente igual a 1/2; suponha também que os sexos dos bebês sejam perfeitamente independentes uns dos outros. Seja P a probabilidade condicional de que H < 90, dado que H < 100.
Aproximadamente, quanto vale P?
- P < 1/400
- 1/400 < P < 1/10
- 1/10 < P < 1/4
- 1/4 < P < 1/2
- P > 1/2
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Gabarito
A
Comentário do professor
Queremos \(P(H<90\mid H<100)=\dfrac{\sum_{k=0}^{89}\binom{400}{k}}{\sum_{k=0}^{99}\binom{400}{k}}\).
Note que o numerador é menor que \(90\binom{400}{89}\) e o denominador é maior que \(\binom{400}{99}\). Assim
razão ≤ \(90\cdot\dfrac{\binom{400}{89}}{\binom{400}{99}}\).
Calculando a razão dos binomiais obtém-se \(\dfrac{\binom{400}{89}}{\binom{400}{99}}=\dfrac{90\cdot91\cdots99}{302\cdot303\cdots311}\). Cada fator \(\dfrac{90+i}{302+i}\) é menor que \(1/3\), logo a razão é menor que \((1/3)^{10}\).
Portanto \(P(H<90\mid H<100)<90\cdot(1/3)^{10}= \dfrac{90}{59049}\approx0{,}001524<\dfrac{1}{400}\). Assim a alternativa correta é verdadeira.
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