Questão FC623991
Tomando-se um lote ao acaso, qual a probabilidade de haver, no máximo, um componente defeituoso nesse lote?
Principais Distribuições Discretas
CESGRANRIO · 2012
Numa produção de um determinado componente industrial, lotes são formados contendo 10 componentes em cada. Sabe-se que a cada 5 componentes produzidos 1 é defeituoso.
Tomando-se um lote ao acaso, qual a probabilidade de haver, no máximo, um componente defeituoso nesse lote?
\(\frac {1} {5} \mathsf {x} \ \left ( \frac{4}{5} \right)^9\)
\(\frac {14} {5} \mathsf {x} \ \left ( \frac{4}{5} \right)^9\)
\(\left ( \frac{4}{5} \right)^9\)
\(1- \left ( \frac{1}{5} \right)^{10}\)
\(1- \left ( \frac{4}{5} \right)^9\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Seja variável aleatória \(X\) o número de componentes defeituosos no lote. Como cada componente tem probabilidade \(p=\tfrac{1}{5}\) de ser defeituoso e o lote tem n=10 peças, \(X\) segue uma distribuição binomial.
Queremos \(P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)\). Calcula-se
\(P(X=0)=\left(\tfrac{4}{5}\right)^{10}\)
\(P(X=1)=\binom{10}{1}\cdot\tfrac{1}{5}\cdot\left(\tfrac{4}{5}\right)^{9}=10\cdot\tfrac{1}{5}\cdot\left(\tfrac{4}{5}\right)^{9}\)
Somando e fatorando \(\left(\tfrac{4}{5}\right)^{9}\), obtemos
\(P(X\leq1)=\left(\tfrac{4}{5}\right)^{9}\left(\tfrac{4}{5}+\tfrac{10}{5}\right)=\dfrac{14}{5}\left(\tfrac{4}{5}\right)^{9}\).
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