Questão FC623993
Uma instituição financeira tem M clientes, dos quais k são classificados como conservadores, e os restantes M - k, não conservadores. Uma amostra de n clientes será selecionada, k
Principais Distribuições Discretas
CESGRANRIO · 2012
Uma instituição financeira tem M clientes, dos quais k são classificados como conservadores, e os restantes M - k, não conservadores. Uma amostra de n clientes será selecionada, k ≤ n < M.
Seja Ak o evento em que, na extração dos n clientes, exatamente k têm perfil conservador.
Considerando-se o sistema de extração com reposição, a probabilidade do evento Ak ocorrer, é
\(P(A_K) = { \large C_n^K K^K( M-K)^{n -K} \over M^n}\)
\(P(A_K) = { \large C_n^K K^K( n-K)^{n -K} \over n^n}\)
\(P(A_K) = n! { \begin{pmatrix} { \large K \over M} \end{pmatrix}}^K\,\, { \begin{pmatrix} { \large M - K \over M} \end{pmatrix}}^{n-K}\)
\(P(A_K) = { \large C_{n -K}^K \over C_M^n}\)
\(P(A_K) = { \large C_{M -K}^{n - K} \over C_M^n}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Como a seleção é feita com reposição, cada retirada é uma tentativa independente com apenas dois resultados: cliente conservador ou não. Assim, o número de conservadores em \(n\) ensaios segue a distribuição binomial.
A probabilidade de sucesso em cada ensaio é \(p=\dfrac{K}{M}\). O termo \(C_n^k\) é o coeficiente binomial, que conta as maneiras de escolher as \(k\) posições dos sucessos entre \(n\) ensaios.
Aplicando a fórmula binomial, obtemos \(P(A_k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{\,n-k}\). Substituindo \(p=\dfrac{K}{M}\) resulta
\(P(A_k)=C_n^k\left(\dfrac{K}{M}\right)^k\left(\dfrac{M-K}{M}\right)^{n-k} = \dfrac{C_n^k\,K^k\,(M-K)^{\,n-k}}{M^n}\).
Essa expressão coincide com a apresentada no gabarito e justifica a alternativa correta.
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