Considere um processo de Poisson com taxa de λ eventos por hora. Seja X o número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo [0,t], t > 0. Seja T o instante em que o primeiro eve

Gabarito

Errado

Comentário do professor

T é o instante do primeiro evento e X conta eventos em \([0,t]\). Dizer que \(T \le t\) significa que o primeiro evento ocorreu dentro do intervalo, isto é, ocorreu ao menos um evento em \([0,t]\).

Portanto \(P(T \le t)=P(\text{pelo menos um evento em }[0,t])=P(X\ge 1)\).

Usando a complementaridade: \(P(T\le t)=1-P(T>t)=1-P(X=0)\). Para um processo de Poisson com taxa \(\lambda\), \(X\sim\text{Poisson}(\lambda t)\) e \(P(X=0)=e^{-\lambda t}\), logo \(P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}=P(X\ge1)\).