Questão FC624007
Quanto vale o valor esperado E(X), ou seja, qual é o número médio de animais da espécie estudada por quadrado de lado 100m?
Principais Distribuições Discretas
CESGRANRIO · 2024
Um biólogo estuda a distribuição de animais de uma determinada espécie. Ele verifica que, se divide a região estudada em quadrados disjuntos de 100 m de lado, o número de animais por quadrado é descrito por uma variável aleatória X. Assim, dado um quadrado na região e um inteiro não negativo n, a probabilidade de que haja exatamente n animais da espécie estudada no quadrado é dada pela fórmula \(Prob(X=n)=\frac{n}{2^{(n+1)}}\)
Quanto vale o valor esperado E(X), ou seja, qual é o número médio de animais da espécie estudada por quadrado de lado 100m?
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Reconheça que a função \(Prob(X=n)=\dfrac{n}{2^{n+1}}\) implica que \(P(X=0)=0\) e, definindo \(Y=X-1\) (com \(Y\ge 0\)), temos
\(P(Y=k)=P(X=k+1)=\dfrac{k+1}{2^{k+2}}\). Isso coincide com a pmf de uma variável binomial negativa com parâmetros \(r=2\) e \(p=\tfrac{1}{2}\).
Para essa binomial negativa vale \(E[Y]=\dfrac{r(1-p)}{p}\). Substituindo \(r=2\) e \(p=\tfrac{1}{2}\) obtemos \(E[Y]=2\).
Como \(X=Y+1\), segue que E(X) = \(E[Y]+1=2+1=3\). Portanto, o número médio de animais por quadrado é 3.
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