Se as alturas são independentes, qual a probabilidade de que um homem escolhido ao acaso seja mais alto do que uma mulher escolhida também ao acaso?

Gabarito

B

Comentário do professor

Sejam H e M as alturas do homem e da mulher, com \(H\sim N(172,9^2)\) e \(M\sim N(162,12^2)\). Considere a diferença \(X=H-M\).

Como soma/diferença de normais, \(X\) é normal com média \(E(X)=172-162=10\) cm e variância \(Var(X)=9^2+12^2=225\), logo \(DP(X)=\sqrt{225}=15\) cm.

Queremos \(P(H>M)=P(X>0)\). Padronizando: \(Z=\dfrac{X-10}{15}\), então

\(P(X>0)=P\!\left(Z>\dfrac{0-10}{15}\right)=P(Z>-2/3)=P(Z<2/3)\).

Consultando a tabela da normal padrão, \(P(Z<2/3)\approx0{,}7486\), ou seja, aproximadamente 74,86%.