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Questão FC624035

Supondo que as variáveis Xk, k = 1, 2,..., 10, e Yi, i = 1, 2, sejam também independentes, e que a variável W = c1(X1 + X2 + ... + X10)2 + c2(Y1 - Y2)2 tem distribuição qui-quadrad

Principais Distribuições Contínuas

CESGRANRIO · 2013

As variáveis aleatórias X1, X2, ...., X10 , são independentes e tais que Xk~N(0,k), para k = 1, 2,..., 10, e Y1 e Y2 são duas variáveis aleatórias independentes com Yi~N(2,1) para i = 1, 2.

Supondo que as variáveis Xk, k = 1, 2,..., 10, e Yi, i = 1, 2, sejam também independentes, e que a variável W = c1(X1 + X2 + ... + X10)2 + c2(Y1 - Y2)2 tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, quais os valores de c1, c2 e n?

  1. \(c_1= \frac {1} {\sqrt {55}},\quad c_2= \frac {1} {\sqrt {2}} \quad e \quad n = 2 \quad\)

  2. \(c_1= \frac {1} {\sqrt {55}},\quad c_2= \frac {1} {\sqrt {2}} \quad e \quad n = 12 \quad\)

  3. \(c_1= \frac {1} {55},\quad c_2= \frac {1} {2} \quad e \quad n = 2 \quad\)

  4. \(c_1= \frac {1} {55},\quad c_2= \frac {1} {2} \quad e \quad n = 12 \quad\)

  5. \(c_1= \frac {1} {55},\quad c_2= 1 \quad e \quad n = 2 \quad\)

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Gabarito

Certo

Comentário do professor

As variáveis \(X_k\) são independentes e normais, então \(X=\sum_{k=1}^{10}X_k\) é normal com média \(E(X)=0\) e variância \(Var(X)=\sum_{k=1}^{10}k=55\).

De forma análoga, \(Y=Y_1-Y_2\) é normal com \(E(Y)=2-2=0\) e \(Var(Y)=1+1=2\), pois \(Y_1\) e \(Y_2\) são independentes.

Padronizando temos \(Z_1=\dfrac{X}{\sqrt{55}}\) e \(Z_2=\dfrac{Y}{\sqrt{2}}\), que são normas padrão. Como \(Z_1\) e \(Z_2\) são independentes, a soma dos quadrados \(Z_1^2+Z_2^2\) tem distribuição \(\chi^2\) com n=2 graus de liberdade.

Para que \(W=c_1X^2+c_2Y^2\) seja igual a \(Z_1^2+Z_2^2\) basta ter \(c_1=\dfrac{1}{55}\) e \(c_2=\dfrac{1}{2}\). Assim, \(c_1=\tfrac{1}{55}\), \(c_2=\tfrac{1}{2}\) e \(n=2\).

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