A variável aleatória X é tal que E(X) = 2 e Var(X) = 4. Seja mx(t) a função geradora de momentos da variável aleatória X, e seja Y uma variável aleatória com função geradora de mom

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Temos \(m_Y(t)=e^{2[m_X(t)-1]}\). Diferenciando, \((m_Y)'(t)=m_Y(t)\cdot 2\,m'_X(t)\). Avaliando em \(t=0\), sabendo \(m_X(0)=1\) e \(m'_X(0)=E(X)=2\), resulta E(Y): \( (m_Y)'(0)=e^{0}\cdot 2\cdot 2=4\).

Para a segunda derivada, \((m_Y)''(t)=m_Y(t)\big(4\,m'_X(t)^2+2\,m''_X(t)\big)\). Em \(t=0\) temos \(m_Y(0)=1\), \(m'_X(0)=2\) e \(m''_X(0)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=4+4=8\). Logo \((m_Y)''(0)=4\cdot4+2\cdot8=32\).

Assim Var(Y) = \((m_Y)''(0)-(m_Y)'(0)^2=32-16=16\) e DP(Y) = \(\sqrt{16}=4\). Portanto média 4 e desvio padrão 4.