Quanto vale Prob(Y2 + Z2 > 16/5)?

Gabarito

D

Comentário do professor

Das hipóteses temos \(E(Z)=0\) e i.i.d., logo \(E(Y)=0\) e \(E(Y^2)=E(Z^2)=\tfrac{8}{5}\) porque \(E(Y^2+Z^2)=\tfrac{16}{5}\).

Suporte: \(P(Y+Z>4)=0\) implica \(P(Y=k)=0\) para \(k\ge3\). Já \(P(Y+Z>-3)=1\) implica \(P(Y=k)=0\) para \(k\le-2\). Como \(P(YZ=0)=0\), \(P(Y=0)=0\). Assim o suporte de \(Y\) é \(\{-1,1,2\}\).

Com \(p_{-1}=P(Y=-1),\,p_1=P(Y=1),\,p_2=P(Y=2)\) resolvemos \(\begin{cases}-p_{-1}+p_1+2p_2=0\\ p_{-1}+p_1+4p_2=\tfrac{8}{5}\\ p_{-1}+p_1+p_2=1\end{cases}\) obtendo \(p_2=\tfrac{1}{5},\,p_1=\tfrac{1}{5},\,p_{-1}=\tfrac{3}{5}.\)

Cálculo: \(Y^2+Z^2>\tfrac{16}{5}=3.2\) equivale a \(Y^2+Z^2\ge4\), ou seja, ocorre se ao menos uma variável vale 2. Pela independência, \(P(\text{alguma }2)=1-P(\text{nenhuma }2)=1-(1-p_2)^2=1-(4/5)^2=9/25.\)