Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes tais que \(P (X=k) = P(Y=k) = \frac {1} {2^k}\), para k = 1,2,3, ... Se Z = max(X, Y), o valor de P(Z = 2) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Queremos \(P(Z=2)\) com \(Z=\max(X,Y)\). Para que o máximo seja 2, só há três casos possíveis: \((X,Y)=(1,2),(2,1)\) ou \((2,2)\).

Pela independência de X e Y, a probabilidade de cada caso é o produto das marginais. Assim

\(P(Z=2)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)\).
Substituindo \(P(X=k)=P(Y=k)=\dfrac{1}{2^k}\) obtemos

\(P(Z=2)=\dfrac{1}{2^1}\cdot\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}\cdot\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{1}{2^2}\cdot\dfrac{1}{2^2}\)

\(=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{5}{16}\).

Resultado: \(P(Z=2)=\dfrac{5}{16}\).