A variável aleatória X segue uma distribuição Uniforme(0;1). Na certeza de X = x, a variável aleatória Y segue uma distribuição Uniforme (0;x). O valor esperado (esperança matemáti

Gabarito

D

Comentário do professor

Temos \(X\sim U(0,1)\) e, condicionalmente, \(Y|X=x\sim U(0,x)\).

Logo, a esperança condicional de \(Y\) dado \(X=x\) é o ponto médio do intervalo: \(E(Y|X=x)=\dfrac{x}{2}.\)

Usando a propriedade \(E(XY)=E\big(X\,E(Y|X)\big)\), obtém-se \(E(XY)=E\!\left(X\cdot\dfrac{X}{2}\right)=E\!\left(\dfrac{X^2}{2}\right)=\dfrac{1}{2}E(X^2).\)

Como \(X\) é uniforme em \([0,1]\), sua densidade vale 1 nesse intervalo, então \(E(X^2)=\int_0^1 x^2\,dx=\tfrac{1}{3}.\)

Portanto \(E(XY)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.\)