A função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é \(f(n) = \begin{cases} c(y-x)^2, 0 < x < y <1 \\ \quad 0, \quad \text{caso} \quad \text{contrario}

Gabarito

D

Comentário do professor

Como \(f(x,y)\) é uma densidade conjunta, vale a condição de normalização: \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy=1\). Aqui a região de suporte é \(0

\(1= \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{y} c\,(y-x)^2\,dx\,dy\).

Calcule a integral interna: \(\displaystyle \int_{0}^{y}(y-x)^2\,dx\). Fazendo a mudança \(u=y-x\) ou expandindo, obtém-se \(\displaystyle \int_{0}^{y}u^2\,du=\frac{y^3}{3}\).

Substituindo na integral externa: \(\displaystyle 1= c\int_{0}^{1}\frac{y^3}{3}\,dy = c\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=c\cdot\frac{1}{12}.\)

Da expressão anterior segue \(\displaystyle c=\frac{1}{1/12}=12\).

c = 12