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Questão FC624045

Um ponto é aleatoriamente selecionado do quadrado unitário [0,1] x [0,1]. Seja X a variável aleatória que representa a distância do ponto selecionado ao lado do quadrado mais próxi

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

CESGRANRIO · 2013

Um ponto é aleatoriamente selecionado do quadrado unitário [0,1] x [0,1]. Seja X a variável aleatória que representa a distância do ponto selecionado ao lado do quadrado mais próximo a ele.

O modelo dado pela função de densidade de probabilidade f(x) da variável aleatória X é caracterizado por

  1. f(x) = 8x, se 0 ≤ x ≤ \(\frac {1} {2}\) e f(x) = 0, caso contrário.
  2. f(x) = 24x2, se 0 ≤ x ≤ \(\frac {1} {2}\) e f(x) = 0, caso contrário.
  3. f(x) = \(\frac {8} {3}\) (1-x), se 0 ≤ x ≤ \(\frac {1} {2}\) e f(x) = 0, caso contrário.
  4. f(x) = 2, se 0 ≤ x ≤ \(\frac {1} {2}\) e f(x) = 0, caso contrário.
  5. f(x) = 4(1-2x), se 0 ≤ x ≤ \(\frac {1} {2}\) e f(x) = 0, caso contrário.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Considere um ponto \((x,y)\) no quadrado unitário e seja \(X=\min\{x,1-x,y,1-y\}\), isto é, a distância do ponto ao lado mais próximo.

Temos \(0\le X\le\frac12\) porque o máximo ocorre no centro do quadrado e vale \(\tfrac12\).

A probabilidade de \(X>x\) corresponde aos pontos que estão a mais de \(x\) de cada lado, isto é, ao quadrado central de lado \(1-2x\); sua área é \((1-2x)^2\). Assim \(P(X>x)=(1-2x)^2\) para \(0\le x\le\tfrac12\).

O CDF é \(F(x)=1-(1-2x)^2\). Derivando, obtemos a densidade \(f(x)=F'(x)=4(1-2x)\) para \(0\le x\le\tfrac12\), e \(f(x)=0\) caso contrário.

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