Questão FC624046
Condicionado a \(Y = \frac {1} {2}\) , qual o valor da probabilidade de X = 2 ?
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CESGRANRIO · 2013
Seja (X,Y) um vetor aleatório misto com espaço de estado definido por {1,2,3} x (0,1) e com modelo misto de probabilidade dado por
\(f(x,y) = \frac {x^2y^{x-1}} {6}\), para x = 1,2,3 e 0 < y < 1.
Condicionado a \(Y = \frac {1} {2}\) , qual o valor da probabilidade de X = 2 ?
\(\frac {8}{21}\)
\(\frac {1}{12}\)
\(\frac {1} {3}\)
\(\frac {1} {2}\)
\(0\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Probabilidade condicional: para variáveis mistas usamos \(P(X=2\mid Y=y)=\dfrac{f_{X,Y}(2,y)}{f_Y(y)}\).
Função marginal de \(Y\) obtém-se somando \(f_{X,Y}(x,y)\) sobre \(x\in\{1,2,3\}\): \(f_Y(y)=\sum_{x=1}^3\frac{x^2y^{x-1}}{6}=\frac{1+4y+9y^2}{6}\).
Avalie em \(y=\tfrac12\): \(f_{X,Y}(2,\tfrac12)=\frac{2^2(\tfrac12)^{1}}{6}=\frac{1}{3}\) e \(f_Y(\tfrac12)=\frac{1+4(\tfrac12)+9(\tfrac14)}{6}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\).
Logo \(P\!\left(X=2\mid Y=\tfrac12\right)=\dfrac{1/3}{7/8}=\dfrac{8}{21}\). Resposta: \(\tfrac{8}{21}\).
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