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Questão FC624057

Uma amostra aleatória de tamanho n deve ser particionada entre L estratos para a estimativa da média populacional \(\mu\). O tamanho da amostra para o estrato h, \(n_h\), e a respe

Amostragem

CESGRANRIO · 2018

Uma amostra aleatória de tamanho n deve ser particionada entre L estratos para a estimativa da média populacional \(\mu\). O tamanho da amostra para o estrato h, \(n_h\), e a respectiva variância do estimador da média, quando o inverso do tamanho do estrato for desprezível, podem ser obtidos por meio de:

 

I  –  Amostra Aleatória Simples para cada estrato, com \(V_I = VAR(\bar{Y_h}) = (1 -f).\frac{S^2}{n}\)

 

II  –  repartição proporcional do tamanho fi nal da amostra por \(n_h = n.\frac{N_h}{N}\), com \(V_{II}= VAR(\bar{Y_h}) = \frac{1-f}{n}.\sum_{h=1}^L W_h S^2_h\)

 

III –  repartição segundo Neyman-Tschuprow do tamanho final da amostra por \(n_h = n.\frac{N_hS_h}{\sum_{h=1}^L N_hS_h}\) com \(V_{III}= VAR(\bar{Y_h}) = \frac{(\sum_{h=1}^L W_h S_h)^2} {n} - \frac{\sum_{h=1}^L W_h S_h^2}{N}\),  onde f = n/N é a fração amostral, \(W_h\) = \(N_h\)/N é o tamanho relativo do estrato na população, e \(S_h\) é o desvio padrão do estrato h na população.

 

De acordo com os três critérios de partição da amostra, podemos inferir que:

  1. VI \(\le\) VII \(\le\) VIII
  2. VI \(\le\) VIII \(\le\) VII
  3. VII \(\le\) VIII \(\le\) VI
  4. VIII \(\le\) VII \(\le\) VI
  5. VIII \(\le\) VI \(\le\) VII
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Gabarito

D

Comentário do professor

Explicação da alternativa:

A desigualdade VIII ≤ VII ≤ VI corresponde à ordem das variâncias \(V_{III} \le V_{II} \le V_{I}\). Para ver isso, usamos duas identidades simples.

Primeiro, a decomposição da variância populacional: \(S^2=\sum_{h=1}^L W_h S_h^2+\sum_{h=1}^L W_h(\bar Y_h-\bar Y)^2\). Multiplicando por \((1-f)/n\) obtém-se \(V_I=V_{II}+(1-f)/n\sum_{h}W_h(\bar Y_h-\bar Y)^2\), portanto \(V_I\ge V_{II}\) porque o termo adicional é não negativo.

Segundo, comparando \(V_{II}\) e \(V_{III}\):

\(V_{II}-V_{III}=\dfrac{1}{n}\Big(\sum_{h}W_hS_h^2-(\sum_{h}W_hS_h)^2\Big)=\dfrac{1}{n}\sum_{h}W_h(S_h-\bar S)^2\ge0\),

onde \(\bar S=\sum_h W_h S_h\). Logo \(V_{II}\ge V_{III}\). Combinando os resultados obtemos \(V_{III}\le V_{II}\le V_{I}\), isto é, VIII ≤ VII ≤ VI.

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