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Questão FC624058

Definindo-se \(\Phi\)(z) = P(Z \(\le\) z) como a função de distribuição de uma variável aleatória Z normal padrão, e \(\overline{X}_4\) e \(\overline{Y}_5\) como as médias das duas

Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais

CESGRANRIO · 2022

Duas amostras aleatórias são retiradas de duas populações distintas e independentes. A amostra de tamanho 4, {X1, X2, X3, X4}, da primeira população, é composta de variáveis aleatórias independentes, normalmente distribuídas, com média 5 e variância 20. A amostra de tamanho 5, {Y1, Y2, Y3, Y4, Y5}, da segunda população, é também composta de variáveis aleatórias independentes, normalmente distribuídas com média 8 e variância 35.

Definindo-se \(\Phi\)(z) = P(Z \(\le\) z) como a função de distribuição de uma variável aleatória Z normal padrão, e \(\overline{X}_4\) e \(\overline{Y}_5\) como as médias das duas amostras, qual o valor de P(\(\overline{Y}_5 - \overline{X}_4 \ge 4\))?

  1. \(\Phi \Bigl ( -{\large {\sqrt{2} \over 2}} \Bigr )\)
  2. \(\Phi \Bigl ( -{\large {\sqrt{3} \over 6}} \Bigr )\)
  3. \(\Phi \Bigl ( -{\large {\sqrt{55} \over 55}} \Bigr )\)
  4. \(\Phi \Bigl ( -{\large {73 \sqrt{2} \over 40}} \Bigr )\)
  5. \(\Phi \Bigl ( -{\large {\sqrt{15} \over 15}} \Bigr )\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

As médias amostrais têm distribuição normal: \( \overline{X}_4 \sim \mathcal{N}\big(5,\tfrac{20}{4}\big)=\mathcal{N}(5,5)\) e \( \overline{Y}_5 \sim \mathcal{N}\big(8,\tfrac{35}{5}\big)=\mathcal{N}(8,7)\).

Para a diferença \(D=\overline{Y}_5-\overline{X}_4\), por independência, \( \mu_D=8-5=3\) e \( \sigma_D^2=7+5=12\). Logo \(D\sim\mathcal{N}(3,12)\).

Padronizando: \(P(D\ge4)=P\!\Big(Z\ge\dfrac{4-3}{\sqrt{12}}\Big)=P\!\Big(Z\ge\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big)\). Como \(1/(2\sqrt{3})=\sqrt{3}/6\) e \(P(Z\ge a)=\Phi(-a)\), obtemos \(P(D\ge4)=\Phi\!\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{6}\big)\).

Resultado: \(P(\overline{Y}_5-\overline{X}_4\ge4)=\Phi\!\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{6}\big)\).

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