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Questão FC624061

A vida útil (em 1.000 horas) de um componente eletrônico é uma variável aleatória, normalmente distribuída com média 5 h e variância 9 h2. Uma amostra aleatória de 16 componentes é

Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais

CESGRANRIO · 2012

A vida útil (em 1.000 horas) de um componente eletrônico é uma variável aleatória, normalmente distribuída com média 5 h e variância 9 h2. Uma amostra aleatória de 16 componentes é retirada da produção e a média da amostra é registrada.

Definindo \(\Phi\)(z) = P(Z ≤ z), onde Z é uma variável aleatória normal padrão, a expressão que denota a probabilidade de que a média da amostra seja superior a 5,5 h é dada por

  1. \(1- \Phi \left ( \frac{1}{6} \right )\)

  2. \(1- \Phi \left ( \frac{2}{3} \right )\)

  3. \(\Phi \left ( \frac{2}{3} \right ) - \Phi \left ( \frac{1}{6} \right )\)

  4. \(1 - \Phi \left ( \frac{11}{32} \right )\)

  5. \(1 - \Phi \left ( \frac{11}{2} \right )\)

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Gabarito

B

Comentário do professor

Seja X a variável aleatória que representa a vida útil, com distribuição normal de média \(\mu=5\) e variância \(\sigma^2=9\).

Para uma amostra de tamanho \(n=16\), a média amostral \(\bar{X}\) tem média \(\mu_{\bar{X}}=5\) e variância \(\sigma_{\bar{X}}^2=\dfrac{9}{16}\), logo o desvio padrão de \(\bar{X}\) é \(\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{3}{4}\).

Padronizando, \(Z=\dfrac{\bar{X}-5}{3/4}\) tem normal padrão. Então

\(P(\bar{X}\ge 5,5)=P\!\left(Z\ge \dfrac{5,5-5}{3/4}\right)=P\!\left(Z\ge \dfrac{2}{3}\right).\)

Como \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), temos \(P\!\left(Z\ge \dfrac{2}{3}\right)=1-\Phi\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\), que é a expressão correta.

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