Questão FC624065
Quantos postos devem ser selecionados para a amostra?
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
CESGRANRIO · 2012
Uma distribuidora tem 400 postos de gasolina associados. Deseja-se selecionar uma amostra, sem reposição, desses postos para estimar o número médio de empregados por posto, com um erro máximo de 8 empregados e uma confiança de 95%. Para essa finalidade, considere o seguinte resultado:
Para amostras grandes, a média amostral \(\overline {X}\) tem distribuição aproximadamente normal com média μ e variância
\(Var (\overline{X}) = \frac {\sigma^2} {n} \begin{pmatrix} 1- & \frac {n} {N} \end{pmatrix}\)
sendo μ a média populacional, σ2 a variância populacional, N o tamanho da população, e n corresponde ao tamanho da amostra.
Dados históricos fornecem o desvio padrão de 60 empregados por posto.
Quantos postos devem ser selecionados para a amostra?
Dado: P(Z ≤ 2) = 0,975
- 144
- 196
- 256
- 280
- 401
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Gabarito
A
Comentário do professor
Para estimar a média com erro máximo \(E=8\) e confiança de 95% usa-se a fórmula com correção para população finita: \(E = Z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\dfrac{N-n}{N}}\).
Substituindo os valores dados: \(Z_{\alpha/2}=2\), \(\sigma=60\) e \(N=400\), obtemos
\(8 = 2\cdot\dfrac{60}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\dfrac{400-n}{400}}\).
Simplificando \(\sqrt{400}=20\): \(8 = \dfrac{120}{\sqrt{n}}\cdot\dfrac{\sqrt{400-n}}{20} = \dfrac{6\sqrt{400-n}}{\sqrt{n}}\). Assim \(8\sqrt{n}=6\sqrt{400-n}\). Elevando ao quadrado: \(64n = 36(400-n)\).
Resolvendo: \(64n = 14400 - 36n\) ⇒ \(100n = 14400\) ⇒ n = 144. Portanto devem ser selecionados 144 postos.
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