Questão FC624066
Uma amostra aleatória de tamanho n > 1 foi extraída independentemente, sem reposição, de uma população de tamanho N com distribuição Bernoulli ( \(\pi\)), a fim de se estimar o tot
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2018
Uma amostra aleatória de tamanho n > 1 foi extraída independentemente, sem reposição, de uma população de tamanho N com distribuição Bernoulli ( \(\pi\)), a fim de se estimar o total, \(\tau\), de unidades na população com a característica A. Um estimador não tendencioso de \(\tau\) é definido como:
- \(\hat{\tau} = N.p\), para p = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\), sendo \(Y_i \in\) {0, 1}
- \(\hat{\tau} = n.p\) para p = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\), sendo \(Y_i \in\) {0, 1}
- \(\hat{\tau} = n.p\) para p = \(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n\), sendo \(Y_i \in\) {0, 1}
- \(\hat{\tau} = \bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\), sendo \(Y_i\) \(\in\) \(\mathbb{R}\)
- \(\hat{\tau} = N \sum_{i=1}^n Y_i\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Estimador não tendencioso: seja a proporção populacional \(p=\tau/N\). Na amostra aleatória sem reposição, cada unidade tem probabilidade \(p\) de apresentar a característica A, logo \(E(Y_i)=p\) para todo \(i\).
Defina \(\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\). Pela linearidade da esperança, \(E(\hat{p})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(Y_i)=\frac{1}{n}\cdot n p=p\). Assim \(\hat{p}\) é não tendencioso para \(p\).
Multiplicando por \(N\) obtém-se \(\hat{\tau}=N\hat{p}\). Novamente pela linearidade, \(E(\hat{\tau})=N E(\hat{p})=N p=\tau\).
Portanto \(\hat{\tau}=N\hat{p}\) é um estimador não tendencioso do total \(\tau\), pois sua esperança é exatamente o parâmetro buscado.
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