Questão FC624067
Seja (Y 1, Y 2, Y 3) uma amostra aleatória simples extraída de modo independente de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ambas desconhecidas. Considere os dois
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2018
Seja (Y 1, Y 2, Y 3) uma amostra aleatória simples extraída de modo independente de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ambas desconhecidas. Considere os dois estimadores da média da população definidos abaixo:
\(\hat{\mu_1} = \frac{Y_1 + 2Y_2 + 3Y_3}{6}\) e \(\hat{\mu_2} = \frac{Y_1 + Y_2 + Y_3}{3}\)
Relativamente a esses dois estimadores, conclui-se que
- apenas o primeiro estimador é não tendencioso.
- apenas o segundo estimador é não tendencioso.
- os dois estimadores são não tendenciosos, mas a eficiência não pode ser determinada sem a estimação da variância \(\sigma^2\).
- os dois estimadores são não tendenciosos, mas o primeiro é mais eficiente por apresentar a variância inferior à do segundo estimador.
- os dois estimadores são não tendenciosos, mas o segundo é mais eficiente por apresentar a variância inferior à do primeiro estimador.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Um estimador é não tendencioso se \(E(\hat{\theta})=\theta\). Para \(\hat{\mu}_1=\frac{Y_1+2Y_2+3Y_3}{6}\) temos
\(E(\hat{\mu}_1)=\frac{E(Y_1)+2E(Y_2)+3E(Y_3)}{6}=\frac{\mu+2\mu+3\mu}{6}=\mu\). Para \(\hat{\mu}_2=\frac{Y_1+Y_2+Y_3}{3}\) temos
\(E(\hat{\mu}_2)=\frac{\mu+\mu+\mu}{3}=\mu\). Logo, ambos são não tendenciosos.
Para eficiência com variâncias, usando independência e \(Var(Y_i)=\sigma^2\):
\(Var(\hat{\mu}_1)=\frac{1^2+2^2+3^2}{6^2}\sigma^2=\frac{14}{36}\sigma^2=\frac{7}{18}\sigma^2\).
\(Var(\hat{\mu}_2)=\frac{1+1+1}{3^2}\sigma^2=\frac{1}{3}\sigma^2=\frac{6}{18}\sigma^2\).
Como \(\frac{6}{18}\sigma^2<\frac{7}{18}\sigma^2\), \(\hat{\mu}_2\) tem variância menor e é, portanto, mais eficiente.
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