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Questão FC624070

A Secretaria Municipal de Educação e Cultura de um município da Bahia realizou, no ano letivo de 2013 o primeiro concurso de soletração, envolvendo todos os alunos da rede municipa

Característica dos Estimadores

CESGRANRIO · 2014

A Secretaria Municipal de Educação e Cultura de um município da Bahia realizou, no ano letivo de 2013 o primeiro concurso de soletração, envolvendo todos os alunos da rede municipal de 9 a 17 anos. Um aluno usou a seguinte estratégia de estudo: uma palavra era escolhida e o aluno soletrava a palavra até obter o primeiro sucesso. Seja X o número de tentativas necessárias, supondo as tentativas independentes. Seja p a probabilidade de sucesso desse aluno. Suponha que para uma determinada palavra ele repetiu a estratégia 6 vezes e, em cada uma das vezes que ele usou a estratégia, o número de tentativas necessárias foram, respectivamente, 2, 6, 4, 2, 3 e 1.

A estimativa de máxima verossimilhança de p é igual a

  1. 1/9
  2. 1/3
  3. 2/3
  4. 2/9
  5. 4/9
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Gabarito

B

Comentário do professor

A variável X conta o número de ensaios até o primeiro sucesso, logo X é Geométrica com função massa \(P(X=j)=(1-p)^{j-1}p\), \(j\ge1\).

Para uma amostra \(x_1,\dots,x_n\) a função de verossimilhança é \(L(p)=\prod_{i=1}^n p(1-p)^{x_i-1}=p^n(1-p)^{\sum x_i-n}\). A log-verossimilhança fica \( \ell(p)=n\ln p+(\sum x_i-n)\ln(1-p).\)

Diferenciando e igualando a zero obtemos \( \dfrac{d\ell}{dp}=\dfrac{n}{p}-\dfrac{\sum x_i-n}{1-p}=0\). Resolvendo dá \( \hat p=\dfrac{n}{\sum x_i}.\)

Com \(n=6\) e \(\sum x_i=2+6+4+2+3+1=18\) segue \(\hat p=6/18=1/3\). Portanto a estimativa de máxima verossimilhança é 1/3.

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