Uma população tem distribuição regida pela função de densidade de probabilidade dada por \(f(x|\theta) = \begin{cases} \frac {\theta.2^\theta}{x^{\theta+1}}, \quad \text{se} \quad

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela verossimilhança \(L(\theta)=\prod_{i=1}^3 f(x_i|\theta)\). Com a amostra 2, 3, 3 e \(f(x|\theta)=\dfrac{\theta\,2^\theta}{x^{\theta+1}}\), obtém-se \(L(\theta)=\dfrac{\theta^3 2^{3\theta}}{(2\cdot3\cdot3)^{\theta+1}}=\dfrac{\theta^3 2^{3\theta}}{18^{\theta+1}}\).

Aplique o logaritmo: a log-verossimilhança é \(\ln L=3\ln\theta+3\theta\ln2-(\theta+1)\ln18\).

Derivando em relação a \(\theta\): \(\dfrac{d}{d\theta}\ln L=\dfrac{3}{\theta}+3\ln2-\ln18\). Igualando a zero para encontrar o extremo, vem \(\dfrac{3}{\hat\theta}=\ln18-3\ln2=\ln\!\left(\dfrac{18}{2^3}\right)=\ln\!\left(\dfrac{9}{4}\right).\)

Logo a estimativa de máxima verossimilhança é \(\hat\theta=\dfrac{3}{\ln(9/4)}\). Verifica-se ser máximo pois \(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\ln L=-\dfrac{3}{\theta^2}<0\).