Uma população tem distribuição regida pela função de densidade de probabilidade dada por \(f(x |a, \beta) = \begin{cases} \frac {a} {\beta^a}, \quad \text{se}\quad 0 \le x \le \bet

Gabarito

A

Comentário do professor

A partir da amostra, construímos a função de verossimilhança assumindo a forma \(f(x|a,\beta)=\dfrac{a}{\beta^a}x^{a-1}\) para \(0\le x\le\beta\). Para \(n\) observações: \(L=\left(\dfrac{a}{\beta^a}\right)^n\prod_{i=1}^n x_i^{a-1}\).

Tomando logaritmo: \(\ln L=n\ln a -na\ln\beta +(a-1)\sum_{i=1}^n\ln x_i\). Como \(\ln L\) é decrescente em \(\beta\) para \(a>0\), o estimador de máxima verossimilhança é o menor \(\beta\) que acomoda os dados, isto é \(\hat\beta=\max\{X_i\}=3\).

Derivando em \(a\) e igualando a zero: \(\dfrac{n}{\hat a}-n\ln\hat\beta+\sum_{i=1}^n\ln x_i=0\), portanto \(\hat a=\dfrac{n}{n\ln\hat\beta-\sum_{i=1}^n\ln x_i}\).

Com \(n=4\) e a amostra \((1,2,2,3)\) obtemos \(\hat\beta=3\) e \(\hat a=\dfrac{4}{4\ln 3 - \ln(1\cdot2\cdot2\cdot3)}=\dfrac{4}{\ln(6{,}75)}\).